ブログをご覧の皆さん、こんにちは。
昨日、比放射能に関する記事を掲載しましたが、今日は放射能を求める公式について補足の記事を書きたいと思います。
放射能を求める公式は必ず暗記しておかなくてはなりません。
放射能を求める公式
放射能は単位時間当たりの壊変数、すなわち壊変率と定義されます。
放射能の単位Bq(ベクレル)は1秒間あたりの壊変数ですので放射能をBq単位で求めるときには半減期は秒単位を用いなくてはなりません。
単位時間当たりの壊変数を式で表すと になります。
そのため、放射能は と表すことができます。
マイナスの符号は時間とともに放射能が減少していくことを意味しています。
この放射能(単位時間当たりの壊変数)はそのとき存在していた原子数Nに比例するので、比例定数をλとすると、
と表すことができます。この比例定数λを壊変定数と呼びます。
では、この方程式 を解いてみましょう。微分方程式になります。
簡単にして、
は、 と書き表されます。
両辺に-1を乗じて、
よって、この式からNを求めると、
変形すると、
ここで、t=0、すなわち最初の原子数NをN0とすると、 として、
を導くことができます。
両辺をN0で除して、
両辺の自然対数をとると、
ここで、 、対数の公式 、さらには を用いて、
よって、半減期Tは、
これをλについて解くと、
となります。
放射能は比例定数をλとすると以下の式で表されることを最初に記述しました。
この式に上で求めた原子数N及び比例定数(壊変定数)λを代入すると、
原子数Nはアボガドロ数×モル数で表されます。また、モル数は物質の質量を物質の質量数で除したものなので、アボガドロ数をNAとして原子数Nを式で表すと、
この式を代入すると放射能の公式を導くことができます。